371817737-Bases-Hilbertianas

Materia

Economia (0123)

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Universidad

Universidad Politécnica de Puebla

Año académico: 2016/2017

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BABEB HILBERTIANAB Sea B={fn :n ∈ N } un subconjunto ortonormal de una base hilbertiana de L2(a , b) cuando: Nota: Sea Entonces  L2(a , b) . Decimos que B es L(B) el conjunto de combinaciones lineales finitas de elementos de B. L2(a , b) . L(B) ¿ Proposición La función h· ,· i: V x V → R es continua como función de dos variables. En particular, dada g ∈ L2(a , b) , la funci´on h· , gi :V → R es continua.  Proposición Sea {fn :n ∈ N } un subconjunto ortonormal de L2(a , b) y {λn :n ∈ N } una sucesión de números reales tales que P n ≥1 λnfn es convergente en L2( a , b) . Entonces:  Proposición En las condiciones anteriores:  Proposición 2 @ A ⊂ L (a , b), A elementos de A  ortogonal : ∀ f ∈ L 2(a , b) , f Proposición Si B es base hilbertiana de parciales convergentes.  L2(a , b), vista como sucesión, no admite sucesiones Proposición Si B={fn:n ∈ N } es base hilbertiana de  es combinación lineal finita de L2(a , b), entonces Proposición Si {fn:n ∈ N } es base hilbertiana de es una base hilbertiana de L2( a , b) ¿ y n 0∈ N ⇒ {fn :n ∈ N {n 0 }} no L2(a , b) Nota: A partir de una base hilbertiana {fn:n ∈ N }de L2( a , b) pueden construirse otras infinitas bases hilbertianas, como por ejemplo {1 √ 2( f 1+f 2), 1 √ 2( f 1−f 2), f 3,. . .} Ejemplo:

BASES HILBERTIANAS

Sea

B={fn:n∈N}

un subconjunto ortonormal de

L2(a,b)

. Decimos que B es

una base hilbertiana de

L2(a , b)

cuando:

Nota: Sea

L(B)

el conjunto de combinaciones lineales finitas de elementos de B.

Entonces

L2(a , b)

L(B)¿

Proposición

La función

h·,· i:V xV → R

es continua como función de dos variables. En

particular, dada g ∈

L2(a , b)

, la funci´on

h· , gi :V → R

es continua.

Proposición

Sea

{fn:n∈N}

un subconjunto ortonormal de

L2(a,b)

{λn :n∈N}

una

sucesión de números reales tales

que P n ≥1λnfn

es convergente en

L2(a,b)

Entonces:

Proposición

En las condiciones anteriores:

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