- Information
- AI Chat
Sistem Koordinat Dalam Ruang Dimensi TIGA
Pendidikan Matematika (E1R115026)
Universitas Mataram
Recommended for you
![A.Howard Gardner - Frames of Mind The Theory of Multiple Intelligences-Basic Books (2011 )[001-100]](https://d20ohkaloyme4g.cloudfront.net/img/document_thumbnails/22c617ee9ba3fefc650e61659a84dd70/thumb_300_194.png)
Preview text
BAB I
SISTEM KOORDINAT DALAM RUANG DIMENSI TIGA
A. PENDAHULUAN.
- Diskripsi umum. Pada sesi ini dibahas mengenai Sistem koordinat dalam ruang dimensi tiga. Pembahasan disini dimulai dari sistim koordinat dalam ruang berdimensi tiga yang dalam hal ini sistem koordinat tegak lurus. Sistem ini terbagi atas 8 himpunan yang disebut Oktan. Selanjutnya berbicara mengenai letak titik pada R 3 , himpunan titik-titik dimana absis tetap, ordinat tetap dan aplikat tetap, jarak antara dua titik dan yang terakhir menentukan koordinat titik jika titik tersebut berada pada suatu segmen sehingga segmen tersebut terbagi atas dua bagian dengan perbandingan tertentu. Untuk menelaah topik ini sebaiknya mahasiswa memiliki pengetahuan tetang jarak dua titik pada bidang, sistem koordinat pada R 2 dan sifat-sifat bangun geometri bidang. Belajar topik ini sangat bermanfaat untuk membahas persamaan garis lurus, jarak titik terhadap garis, jarak titik terhadap bidang dan persamaan bidang pada R 3. Disisi lain, topik ini dapat digunakan untuk membantu belajar tentang geometri analitik ruang lebih luas, Kalkulus maupun analisa kompleks serta dapat pula digunakan memecahkan persoalan kehiduapan sehari-hari.
b. Kemampuan Akhir. Menentukan persamaan jarak dua titik dan koordinat titik membagi segmen atas perbandingan tertentu. c. Indikator Capaian. 1. Menentukan letak titik pada R 3. 2. Menggambar persamaan bidang dalam sistem koordidat R 3. 2. Menentukan jarak dua titik pada R 3. 3. Menentukan koordinat titik yang membagi segmen atas perbandingan tertentu. B. URAIAN MATERI.
- Sistem Koordinat Tegak Lurus. Dengan suatu cara tertentu, jika kita dapat menggunakan bilangan-bilangan untuk menunjukan letak suatu titik di dalam ruang, maka dikatakan bahwa suatu sistem koordinat telah kita terapkan di dalam ruang.
Sekarang kita akan membicarakan suatu sistem koordinat yang paling sederhana dan paling umum digunakan. Suatu sistem koordinat tegak lurus (disebut juga sistem koordinat Cartesian) didalam ruang dimensi tiga ditentukan dengan memilih suatu satuan panjang serta tiga buah garis lurus yang masing-masing saling tegak lurus dan berpotongan disuatu titik (ketiga garis iru disebut sumbu-sumbu),dan ditentukan pula oleh himpunan semua tripel-tripel terurut dari bilangan-bilangan nyata. Misalkan X’OX, Z’OZ adalah dua buah garis yang saling tegak lurus dan menentukan sebuah bidang rata XOZ. Melalui titik potong O, yang disebut titik asal, digambar garis Y’OY yang tegak lurus bidang XOZ. Ini berati berarti ketiga garis lurus tersebut masing-masing saling tegak lurus. Ketiga garis X’OX, Y’OY, dan Z’OZ disebut sumbu-sumbu koordinat tegak lurus, di singkat sumbu X, Y, dan Z. Ketiga sumbu diambil sepasang-sepasang, menentukan tiga buah bidang XOY, XOZ, dan YOZ atau secara singkat kita tulis bidang XY, XZ dan YZ masing disebut bidang – bidang korordinat tegak lurus , seperti terlihat pada gambar dibawah.
Misalkan M suatu titik sembarang didalam ruang. Melalui M, gambar tiga buah bidang rata yang masing-masing sejajar bidang-bidangng koordinat (berarti juga memotong tegak lurus sumbu-sumbu koordinat) misalkan memotong di titik A, B, dan C, dimana OA = x. OB = y, dan OC = z satuan.
Gambar 1. Sistem koordinat tegak lurus
Mengenai ilustrasinya dapat dilihat pada gambar 1 berikut :
- Persamaan Bidang dan Sumbu Koordinat.
Titik yang terletak pada bidang koordinat mempunyai ciri-ciri khusus. Titik yang terletak pada bidang XOY akan mempunyai aplikat z = 0. Titik yang terletak pada YOZ akan mempunyai absis x = 0 dan titik yang terletak ZOX akan mempunyai ordinat y = 0. Kebalikan dari pernyataan-pernyataan di atas adalah benar. Jadi, titik O berkoordinat (0,0,0). Sedangakan titik-titik yang terletak pada sumbu-sumbu koordinat juga memiliki ciri-ciri khusus. Titik yang terletak pada sumbu X (berarti terletak pada bidang XOY dan XOZ) akan mempunyai ordinat y = 0 dan aplikat z = 0. Titik yang terletak pada sumbu Y mempunyai absis x = 0 dan aplikat z = 0, sedangkan titik yang terletak pada sumbu Z mempunyai absis x = 0 dan ordinat y = 0. Kalau kita perhatikan paralel-epipedum ASBO-UMTC pada gambar 1 di atas maka koordinat x, y, dan z dari titik M ( diambil harga mutlaknya ) tak lain adalah jarak dari titik M ke bidang-bidang koordinat. Maka tempat kedudukan titik-titik yang berabsis sama, yaitu x = a adalah suatu bidang rata yang sejajar dengan bidang YOZ berjarak |𝑎| . Letak bidang-bidang tersebut tergantung dari tanda a, di sebelah belakang bidang YOZ bila a negatif dan di sebelah muka bidang YOZ bila a positif. Tempat kedudukan titik-titik yang berkoordinat sama y = b merupakan bidang yang
Gambar 1. Oktan dalam sistem Koordinat.
sejajar dengan bidang ZOX berjarak |𝑏|. Serta tempat kedudukan titik-titik berapliakat z = c, adalah bidang yang sejajar dengan bidang koordinat XOY. Untuk lebih jelas nya perhatikan ilustrasi berikut :
Gambar 1. 3. Bidang bidang sejajar dengan sumbu koordinat 3. Jarak Dua Titik dalam ruang dimensi tiga. Kita hendak menentukan jarak antara titik P(x 1 , y 1 , z 1 ) dan Q (x 2 , y 2 , z 2 ). Perhatikan paralel-epipedum ANBP. LQMC.
Maka: 𝑃𝐴 = |𝑥 2 − 𝑥 1 | 𝐴𝑁 = |𝑦 2 − 𝑦 1 | 𝑁𝑄 = |𝑧 2 − 𝑧 1 |
Gambar 1. Jarak titik. Dari Teorema Phytagoras diperoleh hubungan PQ 2 = PN 2 + NQ 2 = PA 2 + AN 2 + NQ 2 = |𝑥 2 − 𝑥 1 | 2 + |𝑦 2 − 𝑦 1 | 2 + |𝑧 2 − 𝑧 1 | 2 Atau PQ = √(𝑥 2 − 𝑥 1 ) 2 + (𝑦 2 − 𝑦 1 ) 2 + (𝑧 2 − 𝑧 1 ) 2 Kalau P adalah titik asal O (0, 0, 0), maka jaraknya ketitik Q (x 2 , y 2 , z 2 ) adalah 𝑂𝑄 = √𝑥 22 + 𝑦 22 + 𝑧 22.
Koordinat titik tengah diperoleh jika R adalah titik tengah ruas garis PQ dan R mem- bagi segmen PQ atas perbandingan m : n = 1 : 1. Jadi
Secara umum : kita tulis perbandingan m : n = k, dimana k boleh positif atau negatif, tergantung apakah R terletak di antara P dan Q ataukah pada perpanjangannya. Untuk : 𝑘 > 0 , maka 𝑅 terletak di antara 𝑃 dan 𝑄. −1 < 𝑘 < 0, maka 𝑅 terletak di perpanjangan segmen 𝑄𝑃 (pada pihak 𝑃). 𝑘 = −1, menunjukkan bahwa R suatu titik di tak berhingga. 𝑘 < −1, maka 𝑅 terletak di perpanjangan segmen P𝑄 ( pada pihak 𝑄 )
Dalam hal ini koordinat R menjadi R(𝑘𝑥 1+𝑘 2 +𝑥 1 , 𝑘𝑦 1+𝑘 2 +𝑦 1 , 𝑘𝑧 1+𝑘 2 +𝑧 1 ), dimana 𝑘 ≠ −1.
C. SOAL SOAL YANG DISELESAIKAN
- Misalkan 𝑃(−4,5, −6) dan 𝑄(2, −4,3). Tentukan koordinat titik R , jika R membagi PQ atas perbandingan −4 ∶ 1. Jawab. Perbandingan PR : RQ = m : n = - 4 : 1 𝑚 𝑛 = 𝑘 atau
− 1 = 𝑘. Dari sini diperoleh 𝑘 = − Jadi R(𝑘𝑥 1+𝑘 2 +𝑥 1 , 𝑘𝑦 1+𝑘 2 +𝑦 1 , 𝑘𝑧 1+𝑘 2 +𝑧 1 ) = R((−4)(2)+(−4)1−4 , (−4)(−4)+51−4 , (−4)(3)+(−6)1−4 ) = R(−12−3 , −3 21 , −18−3 ) = R(4, −7,6)
- Msalkan dimiliki 𝑃(−4,5, −6) dan 𝑄(2, −4,3). Tentukan koordinat titik S (x,y,z) sedemikian sehingga PS : SQ = 1 : 2 Jawab. Perbandingan PR : RQ = m : n = 1 : 2 Jika 𝑚𝑛 = k, maka k = 2.
Jadi koordinat S (𝑘𝑥 1+𝑘 2 +𝑥 1 , 𝑘𝑦 1+𝑘 2 +𝑦 1 , 𝑘𝑧 1+𝑘 2 +𝑧 1 ) = 𝑆 (
( 12 )(2)−
1+ 12 ,
( 12 )(−4)+
1+ 12 ,
( 12 )(3)−
1+ 12 )
= 𝑆 ( −3 3
2
, 33
2
, −
9 32 2
) = 𝑆(−2, 2, −3)
R(𝑥 2 +𝑥 2 1 , 𝑦 2 +𝑦 2 1 , 𝑧 2 +𝑧 2 1 )
- Sketsa gambar bidang dengan persamaan 2x + y + 3z = 6 di R 3! Jawab. Untuk menggambar bidang tersebut kita mencari garis jejak dari bidang tersebut. Biasanya garis jejak bisa saja merupakan perpotongan antara 2 bidang. Untuk menggambar bidang dengan persamaan 2x + 2y + 2z = 6. Dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut : a. Pilih x = 0. Disini sesunguhnya kita menggambar bidang YOZ. Selanjutnya diperoleh 2y + 2z = 6. Persamaan ini adalah persamaan garis jejak. Garis ini merupakan perpotongan bidang YOZ dengan 2x + 2y + 2z = 6 dan melalui titik A(0,0,3). b. Pilih y = 0. Disini sesunguhnya kita menggambar bidang XOZ. Selanjutnya diperoleh 2x + 2z = 6. Sesungguhnya persamaan ini adalah persamaan garis jejak. Garis ini merupakan perpotongan bidang XOZ dengan 2x + 2y + 2z = 6 dan melalui titik B(3,0,0). c. Pilih z = 0. Disini sesunguhnya kita menggambar bidang XOY. Selanjutnya diperoleh 2x + 2y = 6. Sesungguhnya persamaan ini adalah persamaan garis jejak. Garis ini merupakan perpotongan bidang XOY dengan 2x + 2y + 2z = 6 dan melaui titik C(0,3,0) d. Selanjutnya digambar dalam sistem koordinat ke tiga garis jejak pada a,b dan c. Jadi bidang dengan persamaan 2x + y + 3z = 6 telah tergambar, namun yang tampak sebagian dan hanya terlihat di Oktan I. e. Gambarnya dapat dilihat seperti berikut :
3 3
3
x 2 + y 2 = 4. Sesungguhnya lingkaran ini adalah perpotongan bidang dengan persamaan Z = 0 ( bidang XOY) dengan bangun yang akan digambar. Lingkaran ini melalui 4 titik yaitu A(0,-2,0), B(2,0,0), C(0,2,0) dan D(-2,0,0). b. Gambarlah empat garis sejajar yang masing-masing melalui titik A(0,-2,0), B(2,,0,0), C(0,2,0) dan D(-2,0,0). Sesunguhnya salah satu garis garis ini dapat dipandang sebagai garis pelukis bangun yang sejajar sumbu Z. c. Jika langkah 1 dan 2 sudah selesai, berarti bangun yang dimaksud telah dapat digambar yaitu sebuh tabung dengan lingkaran jejak x 2 + y 2 = 4 dan garis pelukis x = 2. Dalam persamaan tidak memuat variabel z. Ini berarti bangun sejajar dengan sumbu Z. Situasinya dapat dilihat pada gambar berikut :
- Misalkan dimiliki 3 buah titik A(3,2,0),B(5,3,2) dan C(-9,6,-3). Ke tiga titik tersebut merupakan titik-titik sudut segitiga ABC. Segemen AD adalah garis bagi ∠ BAC memotong segmen BC di titik D. Tentukan koordinat titik C. Jawab : a. Dari data yang ada AD = 13 dan AB = 3. Menurut dalil garis bagi maka berlaku bahwa CD : BD = AC : AB = 13 : 3. b. Dari hasil perbandingan tersebut dalam hal ini k = 133. Akibatnya
𝑥 = 𝑘𝑥 1+𝑘𝐵+ 𝑥 𝐶=
( 135 )5−
1+ 133 =
38
16 , 𝑦 =
𝑘𝑦𝐵+ 𝑦𝐶
1+𝑘 =
( 135 )3+
1+ 133 =
57
16 𝑑𝑎𝑛
𝑧 = 𝑘𝑧 1+𝑘𝐵+ 𝑧 𝐶= (
13 5 )2−
1+ 133 =
17
16.
7. Tentukan titik potong daris yang memenuhi {(3𝑘+ 21+𝑘 , 5𝑘+ 41+𝑘 , −4𝑘+ 51+𝑘 ) |𝑘 ≠ −1}
dengan bidang YOZ. Jawab.
Titik potong dengan bidang YOZ dapat dipilih x = 0. Akibatnya 3𝑘+ 21+𝑘 = 0. Jadi
3k + 2 = 0 atau k = − 23. Dengan mensubsitusikan nilai k ini, maka diperoleh y = 2 dan z = 23. Dengan demikian diperoleh titik potong S(0,2,23). 8. Atas perbandingan berapakah bidang XOY membagi segmen yang menghubungkan titik A (-3,4,-8) dan B(5,-6,4). Tentukan titik potongnya. Jawab.
Garis AB memiliki persamaan {(5𝑘−31+𝑘 , −6𝑘+ 41+𝑘 , 4𝑘− 81+𝑘 ) |𝑘 ≠ −1}
Titik potong garis AB dengan XOY membuat z = 0. Dalam hal ini 4𝑘− 81+𝑘 = 0.
Jadi didapat k = 2. Jadi segmen AB terbagi atas perbandingan 2 : 1. Karena diperoleh k = 2, maka x = − 73 𝑑𝑎𝑛 y = − 83. Jadi titik potong segemn AB dengan bidang XOY dengan perbandingan 2 : 1 adalah R(− 73 , − 83 , 0).
D. SOAL-SOAL LATIHAN
- Tentukan jarak titik R(2,5,6) dan Q(2,-5,5)!
- Dimiliki tiga titik A(0,0,0), B(2,-3,3) dan C(2,3,-3). Periksa apakah ke liga titik segaris. Selanjutnya tentukan perbandingan AB : BC, BC : CA dan CA : AB.
- Atas perbandingan berapakah segmen yang menghubungkan P(3,2,1) dan Q(1,3,2) dipotong oleh bidang lengkung 3x 2 – 72y 2 + 128 z 2 = 3?
- Buktikan garis AB dan CD berpotongan jika diketahui A(4,8,12),B(2,4,6), C(3,5,4) dan D(5,8,5).!
- Misalkan diketahui 3 buah titik masing-masing A(0,7,10), B(-1,6,6) Dn C(-4,9,6). Buktikan bahwa segitiga ABC siku-siku sama kaki!
E. RINGKASAN. 1. Dalam sistem koordinat tegak lurus membuat ruang terbagi menjadi delapan bagian dimana tiap bagian sering disebut Tiap oktan diberi nomor seperti diungkapkan dibawah ini.
Sistem Koordinat Dalam Ruang Dimensi TIGA
Course: Pendidikan Matematika (E1R115026)
University: Universitas Mataram
This is a preview
Access to all documents
Get Unlimited Downloads
Improve your grades
