Information
AI Chat

This is a Premium Document. Some documents on Studocu are Premium. Upgrade to Premium to unlock it.

Matriks

CATATAN KULIAH Aljabar Linier dan Matriks : Matriks dan Operasi Matriks

Course

Aljabar Linier dan Matriks (08055316)

3 Documents

Students shared 3 documents in this course

University

Universitas Mulawarman

Academic year: 2018/2019

Uploaded by:

Anonymous Student

This document has been uploaded by a student, just like you, who decided to remain anonymous.

Universitas 17 Agustus 1945 Samarinda

Comments

Please sign in or register to post comments.

Preview text

Matriks dan Operasi Matriks

Macam Matriks  Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Contoh:  Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya 1 dan 0 pada tempat lain. Contoh: I 3 =
Matriks Diagonal Matriks yang semua entri non diagonal utamanya nol Secara umum :
Matriks Segitiga  Matriks persegi yang semua entri di atas diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga bawah. A =  Matriks persegi yang semua entri di bawah diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga atas A =
Matriks Simetris Matriks persegi A disebut simetris jika A = A Contoh :
Transpose Matriks Jika A matriks mxn, maka transpose dari matriks A (A t) adalah matriks berukuran nxm yang diperoleh dari matriks A dengan menukar baris dengan kolom. A = => At = Sifat: 1. (At) = A 2. (A+/-B)t = At +/- Bt 3. (AB) t = BtAt 4. (kA) t = kAt
Balikan (Invers) Matriks

Jika A adalah sebuah matriks persegi dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut dapat dibalik dan B disebut balikan (invers) dari A.

Suatu matriks yang dapat dibalik mempunyai tepat satu invers.

Cara mencari invers khusus matriks 2x2: Jika diketahui matriks A =

maka matriks A dapat dibalik jika ad-bc0, dimana inversnya bisa dicari dengan rumus

Matriks dan Operasi Penjumlahan Matriks Diberikan matriks-matriks seperti di bawah ini:

 Matriks A dan matriks B dikatakan sama (identik) karena matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.  Karena ( A dan B ) atau ( C dan D ) adalah 2 buah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B atau C + D adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen-elemen ( A dan B ) atau ( C dan D ) yang seletak.  Begitu pula dengan hasil selisihnya.  Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.  Untuk setiap A berlaku A + ( -A ) = 0.  Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak.  Jika k sebarang skalar maka k A = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k.  Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1.

Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks:

a. A + B = B + A b. A + (B + C ) = ( A + B ) + C c. k ( A + B ) = k A + k B = ( A + B ) k , k = skala

Sifat-sifat yang berlaku dalam operasi penjumlahan dan pengurangan matriks:

a. A + B = B + A > (sifat KOMUTATIF) b. (A + B) + C = A + (B + C) > (sifat ASOSIATIF) c. k (A + B) = k A + k B > (perkalian dengan skalar) d. ( + ) A =  A +  A > (perkalian dengan skalar) e. A – A = A + (–A) = (0) > (sifat ASOSIATIF) f. A (B + C) = A B + A C > (sifat DISTRIBUTIF) g. (A + B) C = A C + B C > (sifat DISTRIBUTIF) h. (A B) C = A (B C) > (sifat ASOSIATIF)

Pada umumnya:

 A B  B A  A B = 0; tidak berakibat A = 0 atau B = 0

Matriks Bujur-Sangkar Istimewa a. Bila A dan B merupakan matriks-matriks bujur-sangkar sedemikian sehingga AB = BA, maka A dan B disebut COMMUTE (merubah). b. Bila A dan B sedemikian sehingga AB = -BA, maka A dan B disebut ANTI COMMUTE. c. Matriks M dimana Mk+1 = M untuk k bilangan bulat positif, disebut matriks PERIODIK. d. Jika k bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga Mk+1 = M, maka M disebut PERIODIK dengan PERIODE k. e. Jika k = 1 sehingga M 2 = M, maka M disebut IDEMPOTEN. f. Matriks A dimana Ap = 0 untuk p bilangan bulat positif disebut dengan matriks NILPOTEN. g. Jika p merupakan bilangan positif bulat terkecil sedemikian hingga Ap = 0, maka A disebut NILPOTEN dari indeks p.
Aljabar Matriks Elementer Definisi: Matriks A berukuran m n ialah suatu susunan atau himpunan angka dalam persegi empat dengan ukuran m n , sebagai berikut:

Untuk menyatakan elemen matriks A yang ke (i,j), yaitu aij, digunakan notasi (A)ij. Ini berarti aij = (A)ij. Bila m n , maka matriks disebut sebagai matriks bujur sangkar berukuran m atau n.

Operasi Transpose pada Matriks Bujur-Sangkar Transpose matrik A dinotasikan AT atau A diperoleh dengan cara menukar elemen baris ke i dari matrik A menjadi elemen kolom ke i. Bila matrik A berukuran m n maka A berukuran m n dan elemen A yang ke (i,j) adalah aji; dapat pula dinyatakan ( A )ij = (A)ji . Berikut ini adalah contoh matrik A ,
Operasi Trace pada Matriks Bujur-Sangkar Trace didefinisikan hanya pada matriks bujur-sangkar. Bila matriks A berukuran mxm maka trace A, dinotasikan tr(A), adalah jumlah elemen diagonal matriks A,

Matriks A berukuran mxn dan B berukuran nxm, maka matriks AB berukuran mxm. Berlaku:

Aljabar Matriks Elementer

Matriks berukuran m1 disebut vektor kolom dan berukuran 1n disebut vektor baris. Contoh: suatu vektor kolom ai menyatakan komponen a ke i.

Suatu vektor baris bi menyatakan komponen b ke i.

Ai menyatakan vektor baris ke i dalam matrik A.

Aj menyatakan vektor kolom ke j dalam matrik A.

Berbagai Jenis Matriks a. Matrik Diagonal Elemen diagonal dari matriks A (khusus untuk matriks bujur sangkar) adalah a 11, a 22 , ... , amm. Bedakanlah dengan vektor kolom yang memiliki m komponen, yang dapat dituliskan sebagai berikut:

Bila semua elemen selain a11, a 22 , ... , amm bernilai 0 (nol), maka A disebut matriks diagonal. A = diag(a11, a 22 , ... , amm) menyatakan matriks diagonal dengan elemen diagonal a11, a 22 , ... , amm.

b. Matrik Identitas Bila aii  1, sedangkan lainnya bernilai 0 (nol) untuk i 1, 2, ... m, maka A disebut matriks identitas berukuran m , dinotasikan: Im atau I. Perhatikan juga penulisan elemen-elemen matriks diagonal di bawah ini, bila dalam notasi matrisial (DA) ataupun dalam notasi vektorial (Da) DA = diag(a11, a 22 , ... , amm)

Bila A = Im, maka akan terdapat vektor-vektor e 1 , e2, ... , em yang masing-masingnya menyatakan suatu vektor dengan komponen ke 1, 2, ... m bernilai 1, sedangkan komponen yang lain bernilai 0, dinyatakan sebagai berikut: e 1 = , e 2 = , em =

c. Matrik Segitiga Matriks segitiga ialah matriks dengan elemen di atas atau di bawah diagonal bernilai 0. Matriks segitiga terdiri dari dua macam, segitiga atas dan segitiga bawah. Disebut segitiga atas bila yang bernilai 0 adalah semua elemen di bawah diagonal, dan segitiga bawah bila semua yang bernilai 0 di atas diagonal. Contoh matrik segitiga atas (disebut: P ) dan segitiga bawah (disebut: Q ) adalah sebagai berikut: P = dan Q =

Multiple Choice

Multiple Choice

Was this document helpful?

Premium

This is a Premium Document. Some documents on Studocu are Premium. Upgrade to Premium to unlock it.

Matriks

Course: Aljabar Linier dan Matriks (08055316)

3 Documents

Students shared 3 documents in this course

University: Universitas Mulawarman

Multiple Choice

Multiple Choice

Was this document helpful?

This is a preview

Do you want full access? Go Premium and unlock all 6 pages

Access to all documents
Get Unlimited Downloads
Improve your grades

Upload

Share your documents to unlock

Already Premium?

Matriks dan Operasi Matriks

1. Macam Matriks

Matriks Nol (0)

Matriks yang semua entrinya nol.

Contoh:

Matriks Identitas (I)

Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya 1 dan 0 pada tempat lain.

Contoh: I3=

2. Matriks Diagonal

Matriks yang semua entri non diagonal utamanya nol

Secara umum :

3. Matriks Segitiga

Matriks persegi yang semua entri di atas diagonal utamanya nol disebut matriks

segitiga bawah.

A =

Matriks persegi yang semua entri di bawah diagonal utamanya nol disebut matriks

segitiga atas

A =

4. Matriks Simetris

Matriks persegi A disebut simetris jika A = A

Contoh :

5. Transpose Matriks

Jika A matriks mxn, maka transpose dari matriks A (A t) adalah matriks berukuran nxm

yang diperoleh dari matriks A dengan menukar baris dengan kolom.

A = => At =

Sifat:

1. (At) = A

2. (A+/-B)t = At +/- Bt

3. (AB) t = BtAt

4. (kA) t = kAt

6. Balikan (Invers) Matriks

Jika A adalah sebuah matriks persegi dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama

bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut dapat dibalik dan B

disebut balikan (invers) dari A.

Suatu matriks yang dapat dibalik mempunyai tepat satu invers.

Cara mencari invers khusus matriks 2x2: Jika diketahui matriks A =

Why is this page out of focus?

This is a Premium document. Become Premium to read the whole document.

Why is this page out of focus?

This is a Premium document. Become Premium to read the whole document.