- Information
- AI Chat
Bab2 himpunan
Pengantar Matematika (MATA4101)
Universitas Terbuka
Recommended for you
Preview text
Sri Supatmi,S UNIKOM
Teori Himpunan 2011
Himpunan ( set )
Himpunan ( set ) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
Objek di dalam himpunan disebut elemen , unsur , atau anggota.
Cara Penyajian Himpunan
1. Enumerasi
Contoh 1.
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.
- C = {kucing, a , Amir, 10, paku}
- R = { a , b , { a , b , c}, { a , c } }
- C = { a , { a }, {{ a }} }
- K = { {} }
- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
Keanggotaan x A : x merupakan anggota himpunan A ; x A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
Contoh 2. Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a , b , { a , b , c}, { a , c } } K = {{}} maka 3 A 5 B { a , b , c } R c R {} K {} R Contoh 3. Bila P 1 = { a , b }, P 2 = { { a , b } }, P 3 = {{{ a , b }}}, maka a P 1 a P 2 P 1 P 2 P 1 P 3 P 2 P 3
2. Simbol-simbol Baku
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... } N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... } Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks
Himpunan yang universal: semesta , disimbolkan dengan U. Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
3. Notasi Pembentuk Himpunan
Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh 4. (i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5
A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}
atau A = { x | x P , x < 5 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}
4. Diagram Venn
Contoh 5. Misalkan U = {1, 2, ..., 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn:
U
12
5
3 6
8
4
7
A B
Contoh 8. (i) { 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5} (ii) {1, 2, 3} {1, 2, 3} (iii) N Z R C (iv) Jika A = { ( x , y ) | x + y < 4, x , y 0 } dan B = { ( x , y ) | 2 x + y < 4, x 0 dan y 0 }, maka B A.
TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut: (a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A ). (b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A ). (c) Jika A B dan B C , maka A C
A dan A A , maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya ( improper subset ) dari himpunan A. Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A.
A B berbeda dengan A B (i) A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B. A adalah himpunan bagian sebenarnya ( proper subset ) dari B.
Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}
(ii) A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian ( subset ) dari B yang memungkinkan A = B.
Himpunan yang Sama
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A B.
Notasi : A = B A B dan B A
Contoh 9. (i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x ( x – 1) = 0 }, maka A = B (ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B (iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B Untuk tiga buah himpunan, A , B , dan C berlaku aksioma berikut: (a) A = A , B = B , dan C = C (b) jika A = B , maka B = A (c) jika A = B dan B = C , maka A = C
Himpunan yang Ekivalen
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
Notasi : A ~ B A = B
Contoh 10. Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a , b , c , d }, maka A ~ B sebab A = B = 4
Himpunan Saling Lepas
Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas ( disjoint ) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.
Notasi : A // B
Diagram Venn: U
A B
Contoh 11. Jika A = { x | x P , x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B. Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa ( power set ) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A , termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
Notasi : P ( A ) atau 2 A
Jika A = m , maka P ( A )= 2 m.
Contoh 12. Jika A = { 1, 2 }, maka P ( A ) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }} Contoh 13. Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P () = {}, dan himpunan kuasa dari himpunan {} adalah P ({}) = {, {}}.
Contoh 16. Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
(i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8}
(ii) jika A = { x | x /2 P , x < 9 }, maka A = { 1, 3, 5, 7, 9 }
Contoh 17. Misalkan: A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990 D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu
(i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” ( E A ) ( E B ) atau E ( A B )
(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” A C D
(iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp
100 juta” C D B
d. Selisih ( difference )
Notasi : A – B = { x x A dan x B } = A B
Contoh 18. (i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = (ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
e. Beda Setangkup ( Symmetric Difference )
Notasi: A B = ( A B ) – ( A B ) = ( A – B ) ( B – A )
Contoh 19. Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }
Contoh 20. Misalkan
U = himpunan mahasiswa P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80 Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80
Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80. (i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Q (ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Q (iii) “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – ( P Q )
TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: (a) A B = B A (hukum komutatif) (b) ( A B ) C = A ( B C ) (hukum asosiatif)
f. Perkalian Kartesian ( cartesian product )
Notasi: A B = {( a , b ) a A dan b B }
Contoh 20. (i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a , b }, maka C D = { (1, a ), (1, b ), (2, a), (2, b ), (3, a ), (3, b ) } (ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A B = himpunan semua titik di bidang datar
Catatan:
- Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A B = A . B .
- Pasangan berurutan ( a , b ) berbeda dengan ( b , a ), dengan kata lain ( a , b ) ( b , a ).
- Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong. Pada Contoh 20(i) di atas, D C = {( a , 1), ( a , 2), ( a , 3), ( b , 1), ( b , 2), ( b , 3) } C D.
- Jika A = atau B = , maka A B = B A =
Hukum-hukum Himpunan
Hukum identitas: A = A A U = A
Hukum null /dominasi: A = A U = U
Hukum komplemen: A A = U A A =
Hukum idempoten: A A = A A A = A
Hukum involusi:
A )( = A
Hukum penyerapan (absorpsi): A ( A B ) = A A ( A B ) = A
Hukum komutatif: A B = B A A B = B A
Hukum asosiatif: A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B ) C
Hukum distributif: A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) A ( B C ) = ( A B ) ( A C )
Hukum De Morgan:
A B = A B
A B = A B
11 0/
= U
U=
Prinsip Dualitas
Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar. Contoh: AS kemudi mobil di kiri depan Inggris (juga Indonesia) kemudi mobil di kanan depan Peraturan: (a) di Amerika Serikat, - mobil harus berjalan di bagian kanan jalan, - pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului, - bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung
(b) di Inggris, - mobil harus berjalan di bagian kiri jalan, - pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului, - bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung
Prinsip dualitas : Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris.
(Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan ( identity ) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan komplemen. Jika S * diperoleh dari S dengan mengganti , , U, U , sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S * juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.
- Hukum identitas: A = A
Dualnya: A U = A
- Hukum null /dominasi: A =
Dualnya: A U = U
- Hukum komplemen: A A = U
Dualnya: A A =
- Hukum idempoten: A A = A
Dualnya: A A = A
- Hukum penyerapan: A ( A B ) = A
Dualnya: A ( A B ) = A
- Hukum komutatif: A B = B A
Dualnya: A B = B A
- Hukum asosiatif: A ( B C ) = ( A B ) C
Dualnya: A ( B C ) = ( A B ) C
- Hukum distributif: A ( B C )=( A B ) ( A C )
Dualnya: A ( B C ) = ( A B ) ( A C )
- Hukum De Morgan:
A B = A B
Dualnya:
A B = A B
- Hukum 0/
= U
Dualnya:
U=
Contoh 23. Dual dari ( A B ) ( A B ) = A adalah
( A B ) ( A B ) = A.
(b) Ai Aj = untuk i j
Contoh 25. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.
Himpunan Ganda
Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda ( multiset ). Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.
Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.
Himpunan ( set ) merupakan contoh khusus dari suatu multiset , yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.
Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.
Operasi Antara Dua Buah Multiset :
Misalkan P dan Q adalah multiset :
P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q. Contoh: P = { a , a , a , c , d , d } dan Q ={ a , a , b , c , c }, P Q = { a , a , a , b , c , c , d , d }
P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q. Contoh: P = { a , a , a , c , d , d } dan Q = { a , a , b , c , c } P Q = { a , a , c }
P – Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan: multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q , jika selisihnya positif 0, jika selisihnya nol atau negatif. Contoh: P = { a , a , a , b , b , c , d , d , e } dan Q = { a , a , b , b , b , c , c , d , d , f } maka P – Q = { a , e }
P + Q , yang didefinisikan sebagai jumlah ( sum ) dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q. Contoh: P = { a , a , b , c , c } dan Q = { a , b , b , d }, P + Q = { a , a , a , b , b , b , c , c , d }
Pembuktian Pernyataan Perihal Himpunan
Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan. Pernyataan dapat berupa: 1. Kesamaan ( identity ) Contoh: Buktikan “ A ( B C ) = ( A B ) ( A C )” 2. Implikasi
Contoh: Buktikan bahwa “Jika A B = dan A (B C) maka selalu berlaku bahwa A C”.
1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn
Contoh 26. Misalkan A , B , dan C adalah himpunan. Buktikan A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) dengan diagram Venn.
Bukti:
A ( B C ) ( A B ) ( A C )
Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama. Terbukti bahwa A ( B C ) = ( A B ) ( A C ).
Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya. Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.
(ii) adalah dual dari (i)
A ( A B ) = ( A A ) ( A B ) (H. distributif)
= ( A B ) (H. komplemen) = A B (H. identitas)
4. Pembuktian dengan menggunakan definisi
Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian (atau ).
Contoh 31. Misalkan A dan B himpunan. Jika A B = dan A ( B C ) maka A C. Buktikan!
Bukti : (i) Dari definisi himpunan bagian, P Q jika dan hanya jika setiap x P juga Q. Misalkan x A. Karena A ( B C ), maka dari definisi himpunan bagian, x juga ( B C). Dari definisi operasi gabungan (), x ( B C ) berarti x B atau x C. (ii) Karena x A dan A B = , maka x B
Dari (i) dan (ii), x C harus benar. Karena x A juga berlaku x C, maka dapat disimpulkan A C.
Bab2 himpunan
Course: Pengantar Matematika (MATA4101)
University: Universitas Terbuka
- Discover more from:
