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S. Baischev Aktobe University

Academic year: 2012/2013

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Pame Passadore

S. Baischev Aktobe University

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Matemática en secundaria 1.º CABA/2.º ES - Libro para el docente es una obra colectiva, creada,

diseñada y realizada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana, bajo la dirección de Graciela

Pérez de Lois, por el siguiente equipo:

Coordinación general: Claudia Broitman.

Coordinación didáctica: Claudia Broitman y Horacio Itzcovich.

Autoría: María Mónica Becerril, Patricia García, Verónica Grimaldi y Héctor Ponce.

Diseño de propuestas didácticas de Estadística y probabilidad: Betina Duarte.

Lectura crítica: Andrea Novembre.

Edición: Juan Sosa.

Jefa de edición: María Laura Latorre.

Gerencia de Gestión Editorial: Mónica Pavicich.

Libro para el docente

Matemática

1.°

CABA

2.°

ES

en secundaria

La realización artística y gráfica de esta edición ha sido efectuada por el siguiente equipo: Jefa de arte : Claudia Fano Diseño de tapa y diagramación : Alejandro Pescatore Corrección : Paula Smulevich Ilustración : Leonardo Arias, Lancman Ink Ilustraciones matemáticas : Manuel Lois Documentación fotográfica : Leticia Gómez Castro, Teresa Pascual y Nicolas Verdura Preimpresión : Marcelo Fernández, Gustavo Ramírez y Maximiliano Rodríguez Gerencia de producción : Gregorio Branca

Impreso en Argentina. Printed in Argentina. Primera edición: octubre de 2011. Este libro se terminó de imprimir en el mes de octubre de 2011, en FP Compañia Impresora, Beruti 1560, Florida, Buenos Aires, República Argentina.

Matemática en secundaria 1.º/2.º : libro del docente / María Mónica Becerril ... [et.] ; coordinado por Claudia Broitman y Horacio Itzcovich. - 1a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2011. 192 p. ; 28x22 cm. ISBN 978-950-46-2434-

Formación Docente. 2. Matemática. I. Becerril, María Mónica II. Broitman, Claudia, coord. III. Itzcovich, Horacio, coord. CDD 371.

Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea reprográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.

Av. L. N. Alem 720 (C1001AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.

ISBN: 978-950-46-2434- Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.

La presente publicación se ajusta a la cartografía oficial establecida por el Poder Ejecutivo Nacional de la República Argentina a través del IGN Ley –22– y fue aprobada por el expediente GG11 2747/5 del 5 de octubre de 2011.

IV

Índice de contenidos

Capítulo 1. Cálculos con números naturales Problemas diversos y estrategias de cálculos de multiplicaciones y divisiones..................................... .6- Problemas que implican el uso de múltiplos y divisores comunes a varios números.......................... .8- Descomposición multiplicativa de un número. Números primos.......................................................... 10- Interpretar fórmulas sobre múltiplos y divisores........ 12- Producción e interpretación de fórmulas que permitan contar colecciones. Fórmulas equivalentes..... 14- Situaciones de conteo. Problemas de variaciones y permutaciones................................................................... 16

Capítulo 2. Números enteros Uso de los números enteros en diferentes contextos...................................................................... 20- Distancia entre dos números enteros.............................. 22 Opuesto de un número entero........................................ 23 Comparación y orden en enteros............................... 24- Sumas y restas con enteros........................................ 26- Multiplicación y división entre números enteros............. 29 Multiplicación y división con enteros.......................... 30- Operaciones con números enteros.................................. 32 Potencias cuyo exponente es un número natural, y la base, natural o entero.......................................... 33-

Capítulo 3. Circunferencias y triángulos Análisis de algunas propiedades de círculos y circunferencias a partir de actividades de construcción................................................................. 38- Construcción de triángulos a partir de lados, ángulos y alturas.......................................................... 40- Construcción de triángulos a partir de lados, ángulos, alturas, medianas y bisectrices.................... .42- Criterios de congruencia de triángulos...................... .44- Teorema de Pitágoras................................................. .46- Noción de número irracional............................................ 49 Representación de números irracionales en la recta numérica.......................................................... 50

Capítulo 4. Fracciones Las fracciones para medir longitudes y áreas............ 54- Comparación de fracciones.............................................. 56 Fracciones en la recta numérica....................................... 57 Comparación de segmentos....................................... 58- Cálculos entre fracciones................................................. 60 La fracción como proporción...................................... 61- Multiplicación de fracciones en contextos de proporcionalidad................................................................ 63 Multiplicación de fracciones en contextos de área.......... 64 Problemas que involucran multiplicación y división de fracciones.............................................. .65- Problemas que involucran la propiedad de densidad de los números racionales......................... 67-

Capítulo 5. Fracciones y decimales Relaciones entre escrituras fraccionarias y decimales.................................................................. 72- Expresiones decimales y periódicas........................... 74- Potencias de base racional con exponente natural y entero........................................................... 76- Potenciación y orden en Q............................................... 78 Raíz cuadrada de un número........................................... 79 Notación científica............................................................. 80

Capítulo 6. Funciones y gráficos Interpretación de gráficos cartesianos....................... .84- Producción e interpretación de gráficos..................... 86- Diversidad de modos de representación de funciones y vínculos entre ellos.................................. 88- Dominio e imagen de una función........................... .92-

V

Capítulo 7. Cuadriláteros y ángulos Rectas paralelas y perpendiculares............................ .98- Rectas paralelas y perpendiculares. Mediatriz de un segmento..................................... .100- Construcción de rectángulos y cuadrados a partir de lados y diagonales................................ .102- Construcción de rombos a partir de lados, ángulos y diagonales.............................................. .104- Construcción de paralelogramos a partir de lados, ángulos y diagonales.............................. .106- Construcción de paralelogramos a partir de lados, alturas y diagonales................................ .108- Propiedades de los ángulos interiores de los paralelogramos....................................................... .110- Congruencia entre ángulos determinados por dos paralelas y una transversal................................ 112

Capítulo 8. Función lineal Procesos lineales discretos y continuos. Producción de fórmulas......................................... .116- Funciones de proporcionalidad directa. Propiedades y gráfico............................................. .118- Estudio de procesos lineales. Funciones lineales.................................................. .120- Fórmulas y gráficos de funciones lineales. Pendiente y ordenada al origen............................. .122- Resolución de ecuaciones lineales de la forma a · x + b = c........................................ .124- Funciones de proporcionalidad inversa.......................... 126

Capítulo 9. Áreas y volúmenes Determinación y comparación de áreas de figuras sin medir...................................... .130- Construcción y uso de la fórmula para calcular el área de triángulos............................................... .132- Construcción y uso de la fórmula para calcular el área de rectángulos, cuadrados, rombos y paralelogramos....................................................... .134- Variación del área de triángulos y cuadriláteros en función de la variación de sus elementos....... .136- Propiedades de cuerpos geométricos. Caras, aristas y vértices.................................................... 138 Cálculo del volumen de prismas de base cuadrada y rectangular.................................................................... 139 Volumen de prismas....................................................... 140 Exploración de estrategias para el cálculo del volumen de pirámides de base cuadrada............... 141 Cálculo del volumen de pirámides................................. 142

Capítulo 10. Estadística y probabilidad Lectura de información en diferentes tipos de gráficos y cuadros.................................... .146- Medidas de tendencia central: moda, mediana y promedio............................................................. .150- Interpretación de información......................................... 153 Probabilidad de un suceso.................................... .154-

Problemas para aprender a usar el programa GeoGebra Introducción al uso del programa GeoGebra................ 159

VII

identificar la variación de un resultado en función de la variación de algunos de los datos;
determinar una medida sin medir;
determinar la validez de ciertas afirmaciones;
copiar una figura de manera de preservar sus propiedades;

VIII

anticipar si será posible realizar cierta construcción geométrica bajo determinadas condiciones;
interpretar información en diferentes portadores;
interpretar o producir demostraciones de ciertas propiedades;

X

de un conocimiento, promueve la reflexión y la reorganización de estrategias de resolución, permite volver sobre las relaciones que se identificaron o establecieron en clases o problemas anteriores, habilita a abandonar ensayos erróneos e intentar nuevas aproximaciones. Por ello, las diferentes propuestas de este libro se organizan en secuencias que apuntan a pro- mover avances. Además de volver sobre una misma clase de situaciones con nuevas herramientas, es necesario que los alumnos se enfrenten a nuevos problemas que amplíen los sentidos del cono- cimiento que se está tratando. Es así como se van incorporando progresivamente ciertas variaciones que agregan nuevos desafíos. Para sostener estas ideas sobre los problemas y su secuenciación es necesario aceptar y prever cierta provisoriedad y el largo plazo en los procesos de construcción de conceptos matemáticos en la escuela. Aquellas cuestiones que en algún momento se resuelven con estrategias menos avanza- das, luego de un cierto tiempo de trabajo sostenido en torno a varios problemas similares, podrán resolverse con recursos más adaptados. En el siguiente ejemplo se propicia un trabajo con varios problemas que implican tratar a la frac- ción como medio para representar medidas. En algunos problemas la unidad no entra una cantidad entera de veces en el segmento que se mide, promoviendo de este modo que haya que partir la unidad. A su vez, se busca determinar medidas en relación con una unidad.

XI

La exploración como parte del trabajo matemático Si bien una de las características del trabajo matemático reside, como ya se indicó, en la reso- lución de diferentes tipos de problemas y la reflexión sobre los recursos elaborados para su resolu- ción, hay otras marcas del trabajo matemático que se han considerado en este libro. Frecuentemente, en la resolución de un problema, un primer intento no siempre conduce a “buen puerto”. Es necesario realizar varios ensayos, identificar en qué consisten los errores que impiden arri- bar a la solución, buscar cierta información que puede estar involucrada en el trabajo que se propone y no fue considerada, recuperar determinados conocimientos que podrían asociarse con la nueva situación a resolver, etc. Se trata de un juego entre la anticipación de los recorridos de resolución y los efectos de las decisiones que se han ido tomando, de manera tal de sistematizar la búsqueda. Para posibilitar tanto la exploración como la sistematización por parte de los alumnos es central el doble rol del docente: por un lado alienta el momento de búsqueda por medio de diversas estra- tegias, y por otro propone analizar los ensayos realizados, discutir a partir de los errores producidos, sistematizar los recursos que aparecieron, organizar los nuevos conocimientos elaborados y pre- sentar un nuevo vocabulario si lo considera pertinente, nuevas formas de representación o nuevas relaciones. Hay un interjuego en la clase entre momentos que invitan a explorar, probar, ensayar... y otras instancias en las que el trabajo reflexivo se dirige a reordenar la búsqueda, a sistematizar.

XIII

Y otro en el cual se propone tratar con formas de representación usadas en la matemática:

La validación, un desafío crucial Parte de lo que se pretende que asuman los alumnos como actividad matemática está asociada a la determinación de la validez de lo que se produce. En este sentido, se apunta a generar en la clase un tipo de trabajo matemático en el que los alumnos, paulatinamente, puedan “hacerse cargo”, por sus propios medios, de la validez de los resultados que encuentran y de las relaciones

XIV

que establecen. En un principio, es un objetivo que puedan despegarse de la mirada del docente en cuanto a si “está bien” o si “está mal” lo producido. Se busca instalar como parte del trabajo del alumno la responsabilidad de verificar si lo realizado es correcto o no, mediante diferentes recursos. Este aspecto es quizás el más complejo de tratar en el desarrollo de las clases. En algunas ocasiones los alumnos podrán constatar algunos resultados mediante recursos más próximos a lo empírico.

En otros casos se pone en el centro del trabajo del alumno la elaboración de argumentos o fundamentos apoyados en conocimientos matemáticos que permitan establecer la validez de los resultados alcanzados. Se trata entonces de proponer desafíos que demanden la elaboración de nuevos modos de “estar seguro” sin necesidad de apelar a recursos empíricos. Así, en algunas ocasiones, se propicia la interpretación de explicaciones que dan cuenta de relaciones.

XVI

El uso de las letras

Al tratar el problema de la generalización, las letras comienzan a jugar un papel preponderante en el trabajo matemático para dar cuenta de relaciones que se verifican en un cierto dominio. No se trata de forzar la aparición y el tratamiento de las expresiones algebraicas, ni de resolver ecuaciones, sino de iniciar a los alumnos en la interpretación y el uso de expresiones que incluyen letras, así como de empezar a hacer jugar su potencia. En algunas oportunidades se proponen problemas para ser analizados y resueltos de manera colectiva en los que se propicia el uso de las letras para identificar un dominio de validez. Por ejem- plo, en el tratamiento de los números:

En otras oportunidades se recurre al uso de las letras para dar cuenta de una propiedad general:

En ciertas ocasiones las letras permiten analizar cómo pueden variar los resultados que se obtie- nen al usar una fórmula, cuando se modifica alguno de sus componentes:

Otras veces se apela al uso de las letras para estudiar la relación entre variables o acompañar el estudio funcional.

XVII

Relaciones entre conceptos que aparentan ser independientes Otro tipo de tarea que se propone en este libro –y que forma parte de la actividad matemática que se intenta propiciar– involucra la posibilidad de establecer relaciones entre conceptos que, aparente- mente, no tienen relación entre sí, o la forma de relacionarlos no es evidente “a los ojos” de los alumnos. Con la intención de explicitar esas relaciones, se proponen diferentes momentos de trabajo en los cuales algunos conocimientos que ya han sido abordados, que han circulado y que los alumnos tienen en cierta forma disponibles, puedan comenzar a funcionar simultáneamente para tratar nue- vos problemas. En algunas oportunidades serán el motor de una explicación, en otras servirán para reconocer “puentes” entre conceptos; en ocasiones serán herramientas para pensar recorridos de solución, e incluso podrán permitir la aparición de otros modos de representación. Se trata de ir configurando una imagen del trabajo que permita a los alumnos identificar por qué todo ese andamiaje forma parte de una misma disciplina. En el siguiente ejemplo se intenta poner de manifiesto las relaciones entre diferentes conoci- mientos matemáticos: las fracciones, la potencia y el uso de las letras en el tratamiento de fórmulas.

XIX

Por otro lado, el mismo programa habilita a tratar con las funciones y sus gráficos. En el siguien- te ejemplo se propicia el análisis de la variación del gráfico de una recta en la medida en que se modifica su pendiente:

En otras oportunidades se recurre al programa Excel, que habilita una nueva mirada sobre el trabajo con gráficos, en particular, los vinculados a la estadística. Se trata de ofrecer a los alumnos la posibilidad de iniciarse en el uso de este programa y de algunas de sus potencialidades no solo en la organización y la presentación de información sino asociada también al cálculo de algunos porcentajes y ciertas medidas estadísticas. Por ejemplo:

Formas de organización y gestión de la clase Diversas modalidades de organización de la clase son necesarias en función de las variadas formas que puede adquirir el trabajo matemático, del nivel de conocimientos que el problema involucra y del tipo de interacciones que se pretende promover. Entre las diversas modalidades se incluyen: individual, en parejas y colectivo. En todos los capítulos hay una gran cantidad de problemas que se proponen para una explo- ración individual. Son espacios necesarios para que cada alumno, en un tiempo personal, pueda enfrentarse al o los problemas desde los conocimientos que tiene disponibles. Estos primeros acer- camientos a la resolución serán puntos de partida para que el docente pueda organizar el análisis colectivo posterior. Por ejemplo,

XX

También hay propuestas de trabajo individual en las páginas que llevan por título Una colección de problemas para estudiar que se proponen al finalizar cada capítulo. Están previstas para los tiempos individuales de estudio, de sistematización, o bien de volver a enfrentarse a las propias di- ficultades que pudieron haber estado presentes a lo largo del capítulo. Estos problemas podrían ser considerados como “tarea para el hogar”, como repaso para prepararse para una evaluación escrita, como trabajo práctico para ser entregado y corregido por el docente, etcétera. En otras oportunidades se sugiere abordar algunos problemas en parejas cuando se espera que las interacciones entre los alumnos sean fecundas para la circulación y la explicitación de los conocimientos que pudieran funcionar, y se encuentran próximos a las situaciones que se propone resolver. En estos casos, las actividades aparecen bajo el título: Para hacer en parejas.

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