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TD4 - Notes de cours 1
Math (2342)
S. Baischev Aktobe University
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G´ eom´ etrie Algorithmique Triangulations. M1 Info, M1 Math-Info. Ann´ee 2014-2015 - TD 4 : Triangulations - Triangulation d’un ensemble de points - Exercice 1 Appliquer l’algorithme de triangulation incr´emental vu en cours sur l’exemple suivant : - Exercice 2 Montrer que trianguler un ensemble de n du plan doit n´ecessiter un temps en Ω(n log n). D´etailler la r´eduction utilis´ee. - Triangulation de Delaunay - Exercice 3 Le but de l’exercice est de savoir si un point P du plan est ou non `a l’int´erieur du cercle circonscrit `a un triangle ABC. 1. Montrer la propri´et´e suivante : si les points A, B et C sont sur un cercle de centre O tel que O et \ = 2. \ C soient du mˆeme cˆ ot´e de la droite (AB), alors AOB 2. Montrer alors que si D et C sont du mˆeme cˆot´e de la droite (AB) alors D appartient `a l’int´erieur \ ≤ ADB. \ du cercle circonscrit au triangle ABC si, et seulement si, ACB 3. En d´eduire une proc´edure testant en temps O(1) si un point D appartient ou non `a l’int´erieur du cercle circonscrit ` a un triangle ABC. 4. Plus alg´ebriquement, on pourra montrer que la position de triangle ABC d´epend du signe du d´eterminant : 2 xA yA x2A + yA 2 xB yB x + y 2 B B det 2 xC yC x2C + yC 2 2 xD yD xD + yD D par rapport au cercle circonscrit au 1 1 1 1 - Exercice 4 Calculer la triangulation de Delaunay et le diagramme de Vorono¨ı de l’ensemble de points suivant : 1 G´ eom´ etrie Algorithmique Triangulations. M1 Info, M1 Math-Info. Ann´ee 2014-2015 - Exercice 5 Donner un ensemble de 4 points du plan dont la triangulation de Delaunay n’est pas la triangulation qui minimise le plus grand angle. - Exercice 6 L’arbre couvrant euclidien minimum (ACEM ) d’un ensemble P de n points du plan est un arbre connectant tous les points de P et de longueur totale minimum. 1. Montrer que dans la triangulation de Delaunay d’un ensemble de points, chaque point est adjacent a son plus proche voisin. ` 2. Prouver que le graphe form´e par la triangulation de Delaunay de P contient un ACEM de P . 3. En d´eduire un algorithme en O(n log n) pour calculer un ACEM de P . - Diagramme de Vorono¨ı - Exercice 7 Donner une configuration de n points dont le diagramme de Vorono¨ı contient une cellule `a n − 1 cˆot´es. Quel est le nombre moyen de cˆ ot´es d’une cellule dans un diagramme de Vorono¨ı ? - Exercice 8 On se donne V le diagramme de Vorono¨ı d’un ensemble P de points, malheureusement, les points de P ont ´et´e effac´es. Donner un proc´ed´e algorithmique pour les retrouver. - Triangulation de polygones - Exercice 9 Donner le nombre de triangle dans la triangulation d’un polygone ayant p trous et n sommets (y compris ceux entourant les trous). - Exercice 10 Le flip de l’arˆete pq dans une triangulation T consiste `a transformer les deux triangles pqr et pqs incidents a pq en les triangles prs et qrs, les autre triangles de T ´etant inchang´es. ` Soit P un polygone convexe, montrer que l’on peut passer de toute triangulation de P `a une autre `a l’aide de flips d’arˆetes. - Exercice 11 Donner un exemple de triangulation de polygone dont le graphe dual : 1. est un chemin. 2. n’est pas un chemin. 2
TD4 - Notes de cours 1
Course: Math (2342)
University: S. Baischev Aktobe University
