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Probabilité-s2 - Probabilité-s2
Sciences Economiques et Gestion
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PROBABILITES
Cours Page 2 Résumé de cours Page 9 Exercices Page 11 Correction Page 16
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PROBABILITES
1) Vocabulaire de base des probabilités
Définitions et notation: On appelle Expérience aléatoire toute expérience réalisée suivant un protocole expérimental précis et reproductible à l'identique. Chaque répétition est appelée une épreuve. L’ensemble des résultats possibles est appelé Univers des possibles (ou des éventualités, ou des issues), et est souvent noté Ω.
Exemple : Jet d’un dé à 6 faces. Ω = {1; 2;3; 4;5;6 }. Card ( Ω ) = 6
Définitions On appelle événement tout sous-ensemble (ou partie) de l’univers des possibles. Si l’événement est réduit à une seule issue, on dit qu’il est élémentaire. Ω est appelé évenement certain. ∅ est appelé évenement impossible. Exemples :
Considérons comme expérience aléatoire le jet d’un dé à 6 faces. Ω = {1; 2;3; 4;5;6 }. Card ( Ω ) = 6
L’événement A « tirer un nombre pair » se traduit par le sous-ensemble A = { 2; 4;6}. Card ( A ) = 3
L’événement B « tirer un nombre impair » se traduit par le sous-ensemble B ={1;3;5 }
Les événements {1} ; {5} et {6} sont élémentaires. L’événement « tirer un nombre <0 » est impossible. L’événement « tirer un nombre >0 » est certain. Définitions L’événement « A et B », noté A ∩ Best obtenu en regroupant les événements élémentaires communs à A et à B. Deux événements seront dits incompatibles (ou disjoints) si et seulement si A ∩ B= ∅ L’événement « A ou B », noté A ∪ Best obtenu en regroupant les événements élémentaires contenus dans A ou dans B. Si A est une partie de Ω , l’événement contraire de A, noté A , est composé des événements élémentaires de Ω qui ne sont pas contenus dans A. Exemples En reprenant l’exemple et les notations précédentes, on a A ∪ B= Ω et A ∩ B= ∅. De plus B = Aet A =B
2) Fréquence d’un événement
Définition Soit A un évenement lié à une expérience aléatoire. Répétons n fois cette expérience. Soit n Ale nombre de réalisations de A lors de ces n répétitions.
La fréquence de réalisation de l’événement A est alors n( ) A
n f A n =
L’expérience montre que lorsque n devient de plus en plus grand, fn ( A) tend à se stabiliser autour d’un nombre p.
Ce nombre p s’appelle alors probabilité de l’événement A et se note p(A) Propriétés des fréquences :
1) fn ( Ω ) = 1 , car Ω étant toujours réalisé, nΩ =n
2) Pour tout événement A, f n( A) ∈ [ 0;1]car 0 ≤ nA ≤n
3) Si A et B sont incompatibles, f n ( A ∪ B ) = f n ( A) + fn ( B)car nA ∪B = nA +nB
3) Notion de probabilité
Définition : Définir une probabilité, liée à une expérience aléatoire, c’est associer à chaque événement un réel de l’intervalle [0 ;1]
- La somme des probabilités des événements élémentaires soit égale à 1
- La probabilité d’un événement soit égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent. Une probabilité p est donc une fonction définie sur l’ensemble des événements, à valeurs dans [0 ;1]
5) Situation d’équiprobabilité
Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on dit qu’il y a équiprobabilité.
Dans si l’univers des possibles Ω a pour cardinal N, les événements élémentaires ont une probabilité égale à
1
N
.
Propriété :
Sous l’hypothèse d’équiprobabilité des événements élémentaires d’une expérience aléatoire, d’univers des possibles Ω ,
alors pour tout événement A, on a :
( )
( )
( )
Card A
p A
Card
=
Ω
On retient souvent :
nombre de cas favorables
( )
nombre de cas total
p A =
Preuve :
Notons A= { ω 1 ; ω 2 ;...ω p}. On a alors
( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )
fois
....
1 1 1 1 ( )
.... ( )
( )
p
p
p A p p p
p Card A
p p A
N N N N N Card
= ω + ω + ω
+ + = × = = =
Ω
Attention! Cette formule est fausse en cas de non équiprobabilité.
Dans l’exemple du dé truqué, avec :
Issue ωi 1 2 3 4 5 6
Probabilité p( ω i) 1
12
1
6
1
12
1
3
1
12
1
4
Si on note A l’événement « tirer un nombre pair », Il est INTERDIT d’écrire que
3 1
( )
6 2
p A = = car nous ne sommes
pas en situation d’équiprobabilité
6) Probabilités conditionnelles, événements indépendants
Dans une classe de 36 élèves, 23 élèves ont 18 ans, 29 élèves sont des filles et 17 filles ont 18 ans. On choisit au hasard un
élève de cette classe. On s’intéresse aux évènements suivants : A : « l’élève est une fille » , B : « l’élève a 18 ans » ,
A ∩ B : « l’élève est une fille de 18 ans ». Ainsi
29
( )
36
p A = ,
23
( )
36
p B = et
17
( )
36
p A ∩ B =
Mais si on sait que l’élève est une fille, l’ensemble de référence change : la probabilité que l’élève ait 18 ans, sachant
que c’est une fille, est alors
nombre de filles de 18 ans 17
nombre total de filles 29
=
On remarque alors que
17
17 36 ( )
29 29 ( )
36
p A B
p A
∩
= =
Définition :
Soit A et B deux événements d’un même univers, tels que A soit de probabilité non nulle.
Le probabilité conditionnelle de B sachant que A est réalisé, ou encore probabilité de B sachant A, est définie par
( )
( )
( )
A
p A B
p B
p A
∩
=.
Si on connaît la probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé et la probabilité de B, alors on peut calculer la
probabilité de l’événement de l’événement « A et B » : p( A ∩ B) = p ( A) ×pA ( B)
Arbre de probabilité conditionnelle
On traduit souvent la situation sous la forme d’un arbre de probabilité conditionnelle.
Définition : Soit A et B deux événements d’un même univers, de probabilités non nulles. On dit que les événements A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne change pas la probabilité de
réalisation de l’autre. Autrement dit, A et B sont indépendants si pA ( B ) = p B( ) ou pB ( A ) =p ( A)
Conséquence :
Si A et B sont deux événements indépendants, la propriété pA ( B ) = p B( )se traduit par ( )
( ) ( ) p A B p B p A ∩ = donc par : p ( A ∩ B) = p A( ) ×p B( )
7) Variables aléatoires
Définition : Soit Ω l’univers associé à une expérience aléatoire. On appelle variable aléatoire toute fonction X de Ω dans .
X ( Ω) est alors l’image de Ω.
Exemples : On jette un dé cubique et on s’intéresse au jeu suivant : si on obtient un numéro ≤ 4 on perd 1 €, sinon on gagne 2 €. L’application X qui à tout tirage associe le gain obtenu (une perte est un gain négatif) est une variable aléatoire (discrète
prenant un nombre fini de valeurs). On a Ω = {1, 2,3, 4,5, 6 }, X ( Ω =) { −1, 2 }et
1 ssi 1 4 ( ) 2 ssi 5 6 w X w w − ≤ ≤ = ≤ ≤ .
Loi de probabilité, espérance, variance
Soit X une variable aléatoire définie sur Ω.
Soit { x 1 , x 2 ,.... xn }l’ensemble des valeurs prises par X et pi la probabilité de l’événement « X = xi»
On a alors 1 1 1 n i n i p p p p =
∑ = + + =
Définition:
On appelle loi de probabilité de X la fonction qui à tout xi associe le nombre pi = p ( X =xi)
On utilise souvent la représentation à l’aide d’un tableau Valeurs possibles xi x 1 x 2 ... xn
probabilité pi = p ( X = xi) p 1 p 2 ... pn
Exemples : Le tableau suivant nous donne la loi de probabilité de X : Exemple de calcul :
{ } { }
1 1 2 1 ( 2) ( 5 ) ( 6 ) 6 6 6 3 P X = = P + P = + = =. k − 1 2 P X ( = k) 2 3 1 3
8) Loi binomiale
Un candidat doit répondre successivement à 5 questions de la forme QCM. Chaque question comporte quatre réponses, dont une seule est exacte On suppose que le candidat répond au hasard, et que les réponses aux questions sont données de manière indépendante. On note X la variable aléatoire égale au nombre de bonnes réponses sur les 5 questions. On a donc
X ( Ω =) { 0,1, 2,3, 4,5}.
Quelle est la probabilité que le candidat obtienne exactement trois réponses exactes (c'est à dire X=3)? Un arbre permettrait de répondre à la question : Il faut dénombrer le nombre de chemins ayant emprunté 3 branches "bonne réponse" (probabilité 0,25) et 2 branches
"réponse fausse" (probabilité 0,75), chacun des chemins étant donc affecté d'une probabilité ( ) ( )
3 2 0, 25 0, 75 Il y a autant de ces chemins que de mots de 5 lettres contenant 3 lettres V et 2 lettres F, soit 5 5 2 3 =
On a donc ( ) 3 2
5 3 0, 25 0, 75 2 p X = = × × Définitions : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues possibles : « Succès » et « Echec ». Si on note p la probabilité d’un succès, alors la probabilité d’un échec est égale à q = 1 − p. Propriété-définition : Si on considère une expérience aléatoire, n’ayant que deux issues, un succès de probabilité p, et un échec de probabilité q=1-p , répétée n fois de manière indépendante, et si on note X la variable aléatoire désignant le nombre de succès obtenus au cours de ces n répétitions, on dit que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètre n et p , notée B(n,p)
Alors pour tout entier k, tel que 0 ≤ k ≤n , ( ) (1 )
n k n k p X k p p k − = = − . Propriétés :
####### Si X suit la loi binomiale B(n,p) alors E X( )= np, V X( ) = np(1 − p) et σ ( X ) = np (1 − p).
9) Autres exemples de lois discrètes
Loi de Poisson L( λ)
Définition :
Une variable aléatoire X suit la loi de poisson L( λ )si et seulement si sa loi de probabilité est définie par :
Pour tout entier naturel k, ( ) ! k P X k e k
####### = = − λ λ.
Une telle loi intervient dans des expériences aléatoires dont les résultats futurs sont indépendants des résultats passés.
####### Propriétés : Si X suit la loi de Poisson L( λ) alors E X( )= λ, V X( )= λ et σ( X)= λ.
Si n est « grand », si p est « proche » de 0 et si np « n’est pas trop grand » alors on peut approcher la loi binomiale
B ( n p; )par la loi de Poisson L np( )
10) Lois continues
Dans ce paragraphe, on aborde les lois de probabilité continues, dont l'univers est un intervalle I = [ a b; ]ou [ a; +∞[ de
\ non réduit à un point (Cet univers est donc infini). Définition :
Soit f une fonction continue, positive sur un intervalle I = [ a b; ](respectivement [ a; +∞[ ).
On définit sur I une loi de probabilité P dont f est appelée densité si :
- ( ) 1 b a
∫ f t dt = ( respectivement lim ( ) 1
x x a f t dt →+∞
∫ = )
- Si c et d désignent les bornes d'un intervalle J, (de la forme [ c d; ] , [ c d; [ , ] c d; ] , ] c d; [), avec c et d éléments de I, ( ) ( ) d c
p J = ∫ f t dt. De plus pour tout intervalle J = [ c;+∞[ , où c appartient à I, on a ( ) 1 ( )
c a
p J = − ∫f t dt
Remarques - Propriétés
- Puisque f est positive sur I, la probabilité de l'intervalle J d'extrémités c et d s'interprète comme l'aire comprise entre la courbe C représentant f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = cet x =d
- Pour tout élément c , ( { }) ( ) 0 c c
p c = ∫f t dt=
- La probabilité de la réunion d'intervalle disjoints est la somme des probabilités de chacun Quelques exemples : Définition : (Loi de durée de vie sans vieillissement) La loi exponentielle de paramètre λ (réel strictement positif) a pour densité la fonction f λ définie sur l'intervalle
I = [ 0;+∞[ par ( )
t f t e λ
####### λ λ
− =.
Remarque : Une telle définition est possible car f λ est positive sur [ 0; +∞[ et
0 lim ( ) 1 x x f λt dt →+∞
∫ =
Définition : (Loi uniforme sur [0;1]) La loi uniforme P sur [0;1] modélise le choix d'un nombre réel au hasard dans l'intervalle [0;1].
Pour tous réels c et d de [0;1], tels que c ≤ d, si I désigne l'un des quatre intervalles [ c d; ] , [ c d; [ , ] c d; ] , ] c d; [,
on a p( ) I = d −c
Propriété (formule de Koenig) ( ) ( )
2 2 2 2 2 1 1 2 2 espérance de la variable aléatoire X carré de l'espérance de la variable aléatoire X
####### V X = p x + p x + .... p xn n − E X
L’écart-type de cette loi, noté σ , est la racine carrée de la variance : σ ( X ) = V X( )
On a toujours V ( X ) ≥ 0 ; donc on peut toujours calculer σ ( X ) = V X( ). De plus on a toujours σ ( X) ≥ 0.
Loi binomiale Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues possibles : « Succès » et « Echec ». Si on note p la probabilité d’un succès, alors la probabilité d’un échec est égale à q = 1 − p. Si on considère une une épreuve de Bernoulli, de succès de probabilité p, et d’échec de probabilité q=1-p , répétée n fois de manière indépendante, et si on note X la variable aléatoire désignant le nombre de succès obtenus au cours de ces n répétitions, on dit que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètre n et p , notée B(n,p) Alors pour tout entier k, tel que 0 ≤ k ≤n , ( ) (1 ) n k n k P X k p p p − = = − .
####### Si X suit la loi binomiale B(n,p) alors E X( )= np, V X( ) = np(1 − p) et σ ( X ) = np (1 − p).
Loi de Poisson L( λ)
Une variable aléatoire X suit la loi de poisson L( λ )si et seulement si sa loi de probabilité est définie par :
Pour tout entier naturel k, ( ) ! k P X k e k
####### = = − λ λ.
####### Si X suit la loi de Poisson L( λ) alors E X( )= λ, V X( )= λ et σ( X)= λ.
Si n est « grand », si p est « proche » de 0 et si np « n’est pas trop grand » alors on peut approcher la loi binomiale
B ( n p; )par la loi de Poisson L np( )
Lois continues
Soit f une fonction continue, positive sur un intervalle I = [ a b; ](respectivement [ a; +∞[ ).
On définit sur I une loi de probabilité P dont f est appelée densité si :
- ( ) 1 b a
∫ f t dt = ( respectivement lim ( ) 1
x x a f t dt →+∞
∫ = )
- Si c et d désignent les bornes d'un intervalle J, (de la forme [ c d; ] ,[ c d; [ , ] c d; ] , ] c d; [), avec c et d éléments de I, ( ) ( ) d c
p J = ∫ f t dt. De plus pour tout intervalle J = [ c;+∞[ , où c appartient à I, on a ( ) 1 ( )
c a
p J = − ∫f t dt
Loi de durée de vie sans vieillissement : La loi exponentielle de paramètre λ (réel strictement positif) a pour densité la fonction f λ définie sur l'intervalle
I = [ 0;+∞[ par ( )
f t e λt
####### λ λ
= −.
Ainsi, pour tout réel x ≥ 0 , ( )
0 x
####### p X ≤ x = λ e − λtdt
∫
Loi uniforme sur [0;1] La loi uniforme P sur [0;1] modélise le choix d'un nombre réel au hasard dans l'intervalle [0;1].
Pour tous réels c et d de [0;1], tels que c ≤ d, si I désigne l'un des quatre intervalles [ c d; ] , [ c d; [ , ] c d; ] , ] c d; [,
on a p( ) I = d −c
PROBABILITES - EXERCICES
Exercice n°1. (correction) Dans chacune de situations décrites ci-dessous, énoncer l’événement contraire de l’événement donné.
- Dans une classe, on choisit deux élèves au hasard. A : « Les deux élèves sont des filles ».
- Dans un groupe de suisses et de belges, on discute avec une personne. B : « La personne est un homme belge ».
- Au restaurant, Luc prend un plat et un dessert. C : « Luc prend une viande et une glace ».
- A une loterie, Elise achète 3 billets. D : « L’un des billets au moins est gagnant » , E : « Deux billets au maximum sont gagnants. Exercice n°2. (correction) Une urne contient des boules blanches, noires et rouges. On tire une boule de l’urne. On note : A : « Tirer une boule blanche ». B : « Tirer une boule ni blanche ni rouge ». C : Tirer une boule noire ou une boule rouge ».
- A et B sont-ils incompatibles?
- B et C sont-ils incompatibles?
- Traduire par une phrase ne comportant pas de négation A et B. Exercice n°3. (correction) Lors d’un jet de deux dés cubiques, on s’intéresse aux événements suivants : A : « La somme obtenue est au moins égale à 5 ». B : « La somme obtenue est au plus égale à 5 ». C : « La somme obtenue est strictement inférieure à 3 ».
- A et B sont-ils contraires?
- B et C sont-ils incompatibles?
- Traduire par une phrase C.
- A et C sont-ils incompatibles? Exercice n°4. (correction) On choisit une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On note : A l'événement : "La carte choisie est un pique". B l'événement : "La carte choisie est rouge (cœur ou carreau)". C l'événement : "La carte choisie est une figure (valet, dame, roi)".
- Présenter un modèle mathématique décrivant l’expérience aléatoire.
- Déterminer les probabilités des évènements A,B,C,A∩B,B∩C,A∪B,A∪C.
- Déterminer la probabilité de l'événement D "La carte choisie n'est ni un pique ni une figure".
Exercice n°5. (correction)
On jette une pièce de monnaie 3 fois de suite.
- Donner la liste de tous les résultats possibles en notant P pour Pile et F pour Face (exemple : PPF).
- Donner la probabilité des événements suivants : A « le tirage ne comporte que des Piles ». B « le tirage comporte au moins une fois Face ». Exercice n°6. (correction) Dans une assemblée de 250 personnes, on ne remarque que les hommes portant la cravate ou ayant les yeux bleus. Il y a 120 hommes qui portent la cravate, 85 hommes qui ont les yeux bleus, dont 50 portent la cravate. On discute avec une personne choisie au hasard dans cette assemblée.
- Quelle est la probabilité que ce soit un homme portant la cravate.
- Quelle est la probabilité que ce soit un homme aux yeux bleus et portant la cravate.
- Quelle est la probabilité que ce soit un homme aux yeux bleus ou portant la cravate.
- Quelle est la probabilité de discuter avec une personne qui n’est ni un homme aux yeux bleus, ni un homme portant la cravate? Exercice n°7. (correction) Lors d’un référendum, deux questions étaient posées. 65 % des personnes ont répondu « oui » à la première question, 51 % ont répondu « oui » à la seconde question, et 46 % ont répondu « oui » aux deux questions.
Exercice n°14. (correction) Une urne contient sept boules : une rouge, deux jaunes et quatre vertes. Un joueur tire au hasard une boule Si elle est rouge, il gagne 10 € , si elle est jaune, il perd 5 €, si elle est verte, il tire une deuxième boule de l'urne sans avoir replacé la première boule tirée. Si cette deuxième boule est rouge, il gagne 8 €, sinon il perd 4 €.
- Construire un arbre pondéré représentant l'ensemble des éventualités de ce jeu.
- Soit X la variable aléatoire associant à chaque tirage le gain algébrique du joueur (une perte est comptée négativement). a) Etablir la loi de probabilité de la variable X b) Calculer l'espérance de X
- Les conditions de jeu restent identiques. Indiquer le montant du gain algébrique qu'il faut attribuer à un joueur lorsque la boule tirée au deuxième tirage est rouge, pour que l'espérance de X soit nulle. Exercice n°15. (correction) On considère un dé rouge et un dé vert, cubiques, équilibrés. Le dé rouge comporte : deux faces numérotées −1 ; deux faces numérotées 0 ; -deux faces numérotées 1. Le dé vert comporte : une face numérotée 0;trois faces numérotées 1;deux faces numérotées 2. On lance simultanément les deux dés. On note X la somme des points obtenus.
- Déterminer la loi de probabilité de X.
- Définir F, fonction de répartition de X et construire sa représentation graphique Exercice n°16. (correction) Tennis Equitation Voile Anglais 45 18 27 Le tableau suivant donne la répartition de 150 stagiaires en fonction de la langue choisie et de l’activité sportive choisie. On choisit un élève au hasard. Allemand 33 9 18
- Les événements « étudier l’allemand » et « pratiquer le tennis » sont-ils indépendants?
- Les événements « étudier l’anglais » et « pratiquer la voile » sont-ils indépendants? Exercice n°17. (correction) Dans une académie, les élèves candidats au baccalauréat série ES se répartissent en 2003 selon les trois enseignements de spécialité : mathématiques, sciences économiques et sociales et langue vivante. Nous savons de plus que : 37% des candidats ont choisi l’enseignement de spécialité mathématiques. 25% des candidats ont choisi l’enseignement de spécialité langue vivante. 21% des candidats ont choisi l’enseignement de spécialité mathématiques et ont obtenu le baccalauréat. 32,5% des candidats ont choisi l’enseignement de spécialité SES et ont obtenu le baccalauréat. De plus, parmi les candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité langue vivante, 72,5% ont obtenu le baccalauréat. On interroge un candidat pris au hasard. On note : M l’événement « le candidat a choisi l’enseignement de spécialité mathématiques » ; S l’événement « le candidat a choisi l’enseignement de spécialité sciences économiques et sociales » ; L l’événement « le candidat a choisi l’enseignement de spécialité langue vivante » ; R l’événement « le candidat a obtenu le baccalauréat ». On pourra faire un arbre pour faciliter la réponse aux questions. Les résultats seront arrondis au millième.
- Traduire en termes de probabilités les informations numériques données ci-dessus.
- a) Déterminer la probabilité pour que ce candidat ait choisi l’enseignement de SES. b) Déterminer la probabilité pour que ce candidat ait choisi l’enseignement de spécialité langue vivante et ait réussi aux épreuves du baccalauréat.
- Quelle est la probabilité pour que ce candidat ait choisi l’enseignement de spécialité langue vivante et ait échoué au baccalauréat?
- Ce candidat a choisi l’enseignement de spécialité mathématiques. Quelle est la probabilité qu’il n’ait pas obtenu le baccalauréat?
- Montrer que le pourcentage de réussite au baccalauréat pour les candidats de ES dans cette académie est 71,6%.
- On interroge successivement au hasard et de façon indépendante trois candidats. a) Quelle est la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux soit reçu? b) Quelle est la probabilité que deux candidats sur trois exactement soient reçus? Exercice n°18. (correction) On utilise deux pièces de monnaie : l’une pipée, de sorte que lorsqu’on la lance, la probabilité d’obtenir pile soit 1/ 4 ; l’autre normale dont la probabilité d’obtenir pile est 1/ 2 à chaque lancer.
- On prend une pièce au hasard (chacune des deux pièces a une probabilité 1/ 2 d’être prise) a) Quelle est la probabilité d’obtenir pile?
b) On a obtenu pile : quelle est la probabilité d’avoir utilisé la pièce pipée. c) Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois pile en faisant trois lancers avec la pièce choisie? 2) Trois fois on choisit l’une des pièces au hasard qu’on lance (chacune des deux pièces a donc à chaque fois une probabilité 1/ 2 d’être lancée) : déterminer la probabilité d’obtenir au moins une fois pile 3) On lance les deux pièces ensembles : quelle est la probabilité d’obtenir le même résultat pour les deux pièces? Exercice n°19. (correction) On sélectionne les candidats à un jeu télévisé en les faisant répondre à dix questions. Ils devront choisir, pour chacune des questions, parmi quatre affirmations, celle qui est exacte. Un candidat se présente et répond à toutes les questions au hasard. On appelle X la variable aléatoire désignant le nombre de réponses exactes données par ce candidat à l’issue du questionnaire.
- Quelle est la loi de probabilité de X?
- Calculer la probabilité pour qu’il fournisse au moins 8 bonnes réponses, et soit ainsi sélectionné. Exercice n°20. (correction) Une urne contient 3 pièces équilibrées. Deux d'entre elles sont normales : elles possèdent un côté « Pile » et un côté « Face ». La troisième est truquée et possède deux côtés « Face ». On prend une pièce au hasard dans l'urne et on effectue de manière indépendante des lancers successifs de cette pièce. On considère les évènements suivants: B : la pièce prise est normale. B : la pièce prise est truquée. P : on obtient « Pile » au premier lancer. Fn : on obtient « Face » pour les n premiers lancers.
- a) Quelle est la probabilité de l'évènement B? b) Quelle est la probabilité de l'évènement P sachant que B est réalisé?
- Calculer la probabilité de l'événement P ∩ B, puis de l'évènement P ∩ B. En déduire la probabilité de l'évènement P.
- Calculer la probabilité de l’évènement Fn ∩ Bpuis de l'évènement Fn ∩ B. En déduire la probabilité de l'évènement Fn. Exercice n°21. (correction) Un sondage est effectué dans un conservatoire de musique. 60 % des élèves pratiquent un instrument à cordes (C). 45 % des élèves pratiquent un instrument à vent (V) 10 % des élèves pratiquent un instrument à cordes et vent.
- On choisit un élève au hasard dans le conservatoire. a) Quelle est la probabilité de l’événement « Cet élève pratique au moins un des instruments considérés » b) Quelle est la probabilité de l’événement « Cet élève pratique un et un seul des instruments considérés »
- On choisit au hasard un élève pratiquant un instrument C. Quelle est la probabilité pour que cet élève pratique un instrument V?
- Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On choisit au hasard n élèves. On suppose que le nombre d’élèves du conservatoire est suffisamment grand pour que la probabilité de rencontrer un instrumentiste du type donné soit constante au cours du sondage. a) Quelle est la probabilité pn qu’au moins un des élèves choisis pratique un instrument C? b) Déterminer le plus petit entier n tel que pn ≥0, Exercice n°22. (correction) Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher, de 3 sortes : 4 sont marqués « oui », 3 sont marqués « non » et 3 sont marqués « blanc ». Un joueur tire simultanément deux bulletins de l’urne. Quelle est la probabilité qu’il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes différentes. Exercice n°23. (correction) Un sac contient 5 jetons verts (numérotés de 1 à 5) et 4 jetons rouges (numérotés de 1 à 4).
- On tire successivement et au hasard 3 jetons du sac, sans remettre le jeton tiré. Calculer les probabilités : a) De ne tirer que 3 jetons verts ; b) De ne tirer aucun jeton vert c) De tirer au plus 2 jetons verts ; d) De tirer exactement 1 jeton vert.
- On tire simultanément et au hasard 3 jetons du sac. Reprendre alors les questions a), b), c) et d).
Exercice n°6 (énoncé)
Le tableau suivant permet de dénombrer les différentes catégories :
Cravate
(événement C)
Pas de Cravate
(événement C )
Total
Yeux Bleus
(événement B)
50 35 85
Yeux non bleus
(événement B )
70 95 165
Total 120 130 250
On note Ω l’univers des possibles, ensemble des 250 personnes. Ainsi Card ( Ω ) = 250.
Il y a équiprobabilité des choix de personnes. Ainsi
1) ( )
( )
( )
120 12
250 25
Card C
p C
Card
= = =
Ω
, 2) ( )
( )
( )
50 1
250 5
Card B C
p B C
Card
∩
∩ = = =
Ω
,
3) ( ) ( ) ( ) ( )
85 120 50 155 31
250 250 250 250 50
p B ∪ C = p B + p C − p B ∩ C = + − = = (on pouvait aussi directement écrire
( )
( )
( )
50 70 35 155 31
250 250 50
Card B C
p B C
Card
∪ + +
∪ = = = =
Ω
).
3) ( ) ( ) ( )
31 19
1 1
50 50
p B ∩ C = p B ∪ C = − p B ∪ C = − =.
Exercice n°7 (énoncé)
Si on note A l’événement « la personne a répondu oui à la première question » et B l’événement « la personne a répondu
oui à la deuxième question », l’énoncé nous fournit p ( A) = 0,65 , p B( ) = 0,51et p ( A ∩ B) = 0, 46.
1) On calcule p ( A ∪ B ) = p ( A) + p B( ) − p A( ∩ B) = 0,65 + 0,51 − 0, 46 = 0,7.
2) On calcule p A( ∩ B ) = p A( ∪ B ) = 1 − p A( ∪ B)= 1 − 0,7 = 0,3.
Exercice n°8 (énoncé)
Si on note p 6 la probabilité d’apparition du chiffre 6, la somme des probabilités des événements élémentaires valant 1, on
a p 6 = 1 − ( p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 )= 1 − 0,85 = 0,15.
L’événement A « obtenir un nombre pair » étant A = { 2;4;6}, on a p ( A ) = p 2 + p 4 + p 6 = 0, 2 + 0,1 + 0,15 = 0, 45.
Il ne fallait surtout pas écrire ( )
( )
( )
3 1
6 2
Card A
p A
Card
= = =
Ω
car il n’y a pas équiprobabilité des faces de dés.
Exercice n°9 (énoncé)
Si on note p la probabilité d’apparition du chiffre 1, les probabilités d’apparition des autres faces sont respectivement
égales à 2 p,3 p, 4 p,5 p ,6p , puisque proportionnelles au numéro de chaque face.
Puisque la somme des probabilités des événements élémentaires vaut 1, on a p + 2 p + 3 p + 4 p + 5 p + 6 p= 1 , donc
1
21 1
21
p = ⇔ p=. On en déduit donc :
Face 1 2 3 4 5 6
Probabilité 1
21
2
21
3
21
4
21
5
21
6
21
Et ainsi , l’événement A « obtenir un nombre pair » étant A = { 2;4;6}, on a ( )
2 4 6 12
21 21 21 21
p A = + + =.
Il ne fallait surtout pas écrire ( )
( )
( )
3 1
6 2
Card A
p A
Card
= = =
Ω
car il n’y a pas équiprobabilité des faces de dés.
Exercice n°10 (énoncé)
L’arbre nous renseigne sur le fait que « 35 % des élèves du lycée sont en seconde, et parmi ces élèves de seconde, 80 %
sont demi-pensionnaires, etc... ».
1) La somme des poids figurant sur les arêtes au départ de chaque « nœud » doit être égale à 1 (coefficients
multiplicateurs traduisant des pourcentages). On obtient ainsi l’arbre :
2) Les élèves de seconde externes représentent une fraction de l’effectif total égale à 0,35 × 0, 2 = 0,07, soit 7 %.
Les externes représentent donc une fraction égale à 0,35 × 0, 2 + 0, 25 × 0, 4 + 0,3 × 0,5 + 0,1 × 0,3 = 0,35, soit 35 %.
3) Sur 1000 élèves, 350 sont donc externes. Les élèves de terminale externes représentent 1000 × 0,3 × 0,5 = 150 élèves,
soit une part égale à
150
100 43%
350
× ≈ à 1% près..
Exercice n°11 (énoncé)
On note T l’événement « le client achète un téléviseur » et M l’événement « le client achète un magnétoscope ».
L’énoncé fournit p T( ) = 0,6(donc p T( ) = 1 − 0,6 = 0, 4), pT ( M ) = 0, 4(donc pT ( M ) = 1 − 0, 4 = 0,6), et pT ( M ) =0, 2
(donc p T( M ) = 1 − 0, 2 = 0,8,
ce que l’on peut traduire par l’arbre de probabilités
1) En appliquant la formule de définition d’une probabilité conditionnelle, dans sa « version multiplicative »,
( )
( )
( )
T ( ) ( ) T( ) 0,6 0, 4 0, 24
p T M
p M p T M p T p M
p T
∩
= ⇔ ∩ = × = × =
2) En appliquant la formule des probabilités totales,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0,6 0, 4 0, 4 0, 2 0,
T T
p M p T M p T M
p T p M p T p M
= ∩ + ∩
= × + ×
= × + × =
3) On demande ( )
( )
( )
0,6 0, 4
0,
0,
M
p M T
p T
p M
∩ ×
= = =
4) Puisque p M( ) = 0,32, on a p M( ) = 1 − 0,32 = 0,68. Puisque pM ( T ) = 0,75, on a pM ( T ) = 1 − 0,75 =0, 25
On calcule de la même manière qu’à la question 3),
( )
( )
( )
0,6 0,6 0,36 9
M 0,68 0,68 17
p M T
p T
p M
∩ ×
= = = = , donc ( )
9 8
1
M 17 17
p T = − =.
On peut donc « inverser » l’arbre de probabilité :
Exercice n°14 (énoncé)
On désigne par R 1 l’événement « la boule tirée au 1er tirage est rouge », R 2 l’événement « la boule tirée au 2ème tirage est
rouge », et ainsi de suite avec les autres couleurs. Par équiprobabilité , on a ( 1 )
1
7
p R = , ( 1 )
2
7
p J = et ( 1 )
4
7
p V = En cas
de deuxième tirage, l’urne ne contient plus que 6 boules, dont une rouge, deux jaunes et trois vertes, ce qui permet
d’affirmer que 1 ( 2 )
1
6
p V R = donc 1 ( 2 )
1 5
1
6 6
p V R = − =
1) L’arbre de probabilités (et les gains qui sont associés au différents
événements) est donc
2) a) X peut prendre quatre valeurs distinctes : -5 , -4 , +8 , 10 (on note X ( Ω ) = { −5; −4;8;10}
On détermine les probabilités :
( ) ( 1 )
2
5
7
p X = − = p J = ( ) ( 1 2 ) ( 1 ) 1 ( 2 )
4 5 10
4
7 6 21
p X = − = p V ∩ R = p V × p V R = × =
( ) ( 1 2 ) ( 1 ) 1 ( 2 )
4 1 2
8
7 6 21
p X = + = p V ∩ R = p V × p V R = × = ( ) ( 1 )
1
10
7
p X = + = p R =
Les résultats présentés dans un tableau sont :
b) Par définition, ( ) ( )
4
1
i i
i
E X x p X x
=
= ∑ =
( 5 ) ( 5 ) ( 4 ) ( 4 ) 8 ( 8 ) 10 ( 10 )
2 10 2 1 24 8
5 4 8 10
7 21 21 7 21 7
= − × p X = − + − × p X = − + × p X = + × p X=
= − × − × + × + × = − = −
3) Notons a le gain correspondant à l’événement V 1 ∩ R 2.
On a donc ( )
2 10 2 1 2 40
5 4 10
7 21 21 7 21
a
E X a
−
= − × − × + × + × =
Il suffit alors de résoudre l’équation : E ( X ) = 0 ⇔ 2 a − 40 = 0 ⇔ a= 20 €
Exercice n°15 (énoncé)
On peut consigner les résultats dans le tableau suivant :
1) Si on note X la somme des points obtenus, on a donc X ( Ω) = { −1;0;1;2;3 }, avec
x i -1 0 1 2
p ( X = xi) 2
36 18
=
8 2
36 9
=
12 1
36 3
=
10 5
36 18
=
4 1
36 9
=
2) On définit ainsi la fonction de répartition de X par :
Dé vert
Dé Rouge
0 1 1 1 2 2
-1 -1 0 0 0 1 1
-1 -1 0 0 0 1 1
0 0 1 1 1 2 2
0 0 1 1 1 2 2
1 1 2 2 2 3 3
1 1 2 2 2 3 3
x i -5 -4 8 10
p ( X = xi) 2
7
10
21
2
21
1
7
( )
0 si 1
1
si 1 0
18
1 2 5
si 0 1
18 9 18
( ) 1 2 1 11 si 1
2
18 9 3 18
1 2 1 5 8 si 2
3
18 9 3 18 9
1 2 1 5 1
1 si 3
18 9 3 18 9
x
x
x
F x p X x
x
x
x
< −
− ≤ <
+ = ≤ <
= ≤ =
+ + = ≤ <
+ + + = ≤ <
+ + + + = ≤
Exercice n°16 (énoncé)
Après avoir complété le tableau des effectifs :
On choisit un élève au hasard et on note On note Ω l’univers des possibles, ensemble des 150 élèves. Ainsi
Card ( Ω ) = 32. Il y a équiprobabilité dans le choix des élèves. Ainsi pour tout événement A, ( )
( )
( )
Card A
p A
Card
=
Ω
1) On calcule séparément :
( ) ( ) ( )
78 11 11
150 26 50
p D ∩ T = p T × p T D = × = et ( ) ( )
78 60 26 20 13 2 26
150 150 50 50 25 5 125
p T × p D = × = × = × =
Puisque p ( D ∩ T ) ≠ p T( ) × p D( ), on peut conclure que les événements « étudier l’allemand » et « pratiquer le tennis »
ne sont pas indépendants
2) On calcule séparément :
( ) ( ) ( )
45 27 27 9
150 45 150 50
p A ∩ V = p V × p V A = × = = et ( ) ( )
90 45 3 3 9
150 150 5 10 50
p A × p V = × = × =
Puisque p ( A ∩ V ) = p ( A) × p V( ), on peut conclure que les événements « étudier l’anglais » et « pratiquer la voile » sont
indépendants
Exercice n°17 (énoncé)
Le début de l’exercice est l’archétype classique d’un exercice de probabilités conditionnelles.
1) En utilisant les notations de l’énoncé, nous avons p M( ) = 0,37, p L( ) = 0, 25, p M( ∩ R) = 0, 21, p S( ∩ R) =0,
et pL ( R ) =0,
2) a) On calcule p S( ) = 1 − ( p M( ) + p L( )) = 1 − ( 0,37 + 0, 25 )= 1 − 0,62 =0,
b) On calcule p L( ∩ R ) = p L( ) × pL ( R) = 0, 25 × 0,725 = 0,18125 ≈ 0,181arrondi au millième
3) On calcule p L( ∩ R ) = p L( ) × pL ( R ) = 0, 25 × ( 1 − pL ( R)) = 0, 25 × ( 1 − 0,725) = 0,06875 ≈ 0,069arrondi au millième
4) On calcule ( )
( )
( )
( )
0,
M
p M R p M R
p R
p M
∩ ∩
= = arrondi au millième. Puisque p M( ) = 0,37 et p M( ∩ R) = 0, 21, on
calcule ( )
( )
( )
0, 21 21
0,37 37
M
p M R
p R
p M
∩
= = = et donc ( ) ( )
21 16
1 1 0, 432
37 37
p M R = − pM R = − = ≈ arrondi à
10 − 3
5) En appliquant la formule des probabilités totales,
p R ( ) = p L( ∩ R ) + p S( ∩ R ) + p M( ∩ R) ≈ 0,181 + 0,325 + 0, 21 ≈ 0,716, d’où la réponse
6) On répète 3 fois successivement, et de manière indépendante, la même épreuve consistant à choisir un élève qui peut
avoir été reçu (issue R que nous appellerons SUCCES, de probabilité 0,716) ou qui peut avoir échoué (issue R que nous
appellerons ECHEC, de probabilité 1-0,716=0,284). Le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètre 3 et 0,716.
Tennis (T) Equitation (E) Voile (V) Total
Anglais (A) 45 18 27 90
Allemand (D) 33 9 18 60
Total 78 27 45 150
Probabilité-s2 - Probabilité-s2
Course: Sciences Economiques et Gestion
University: Université Sidi Mohamed Ben Abdellah de Fès
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